Подвійний інтеграл у прямокутних декартових координатах

Покажемо, що обчислення подвійного інтеграла зводиться до обчислення двох визначених інтегралів.

Область D називають правильною у напрямі осі Oy , якщо будь-яка вертикальна пряма, що проходить через внутрішню точку області перетинає межу області не більше як у двох точках (рис.11).

Нехай неперервна функція f (x, y) ≥ 0. Тоді подвійний інтеграл по області D виражає об’єм V циліндричного тіла.

Нехай [a, b] − проекція області D на вісь Ох. Зафіксуємо х на відрізку [a, b] і побудуємо переріз циліндричного тіла площиною x = const , перпендикулярної до осі Ох (рис.12). У перерізі дістанемо криволінійну трапецію MNPQ, площу якої можна знайти за формулою (х − константа, у − змінна):

Згідно з методом перерізів

Отже,

Тоді інтеграл

називають внутрішнім, а інтеграл

– зовнішнім. Праву частину одержаної формули називають повторним інтегралом. Для області D, правильної у напрямі осі Ох, тобто області, для якої будь-яка горизонтальна пряма, що проходить через внутрішню точку області, перетинає межу області не більше як у двох точках (рис.13), маємо формулу

Тут внутрішнім є інтеграл за змінною x .

Якщо область D обмежена вертикальними прямими x = a, x = b та горизонтальними прямими y = c, y = d (рис.14), то

Причому це єдиний випадок сталих меж у внутрішньому інтегралі. Формули обчислення подвійного інтеграла через повторні залишаються справедливими для будь-якої неперервної функції f (x, y).